分析力学 Note 1: 最小作用量原理

1. 广义坐标 (Generalized Coordinates)

考虑一个 1 个自由度的系统，比如单摆。在传统的笛卡尔坐标系下，我们往往要多引入一个约束方程（$x^2+y^2=l^2$）来解决这个问题。但如果是极坐标系，却只需要一个变量 $\theta$ 就能描述，且运动方程极其简洁：

$$\ddot\theta +\frac{g}{l}\theta = 0$$

这似乎暗示着有一种更加合适、解耦的方式来描述这个系统。

在此，我们定义 $s$ 个自由度的系统的广义坐标 $q_1, q_2, \dots, q_s$ 为可以完全刻画其位置的 $s$ 个变量，其导数 $\dot{q}$ 就是广义速度。

经验告诉我们，在牛顿力学体系下，只需要知道了 $q$ 和 $\dot{q}$ 就可以确定整个系统未来的状态。这意味着，牛顿力学下，我们的世界是一个二阶微分系统，自然地我们会想到存在这样一个映射：

$$f(q, \dot{q}) \rightarrow \ddot{q}$$

不过这个映射究竟是什么呢？引入最小作用原理之前，我们不妨想像一下：在确定了系统首尾状态的情况下，明明有无数条路径可以走，但现实却只选择了其中一条。

想必一定有其特殊之处… 比如… 让某个函数取极值？

2. 最小作用量原理

我们进行如下定义：每一个力学系统都可以通过一个确定的函数——拉格朗日量 (Lagrangian) 来表征：

$$\mathcal{L}(q, \dot{q}, t)$$

此时不妨设作用量 (Action) $S$ 为该函数的时间积分：

$$S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \, dt$$

关于这个泛函，我们的 $q$ 和 $\dot{q}$ 会让它取最小值 * 严格来说，最小作用量原理的表述并不是对系统的整个运动轨迹总成立，而是仅在足够小的区段上成立。对于整个轨迹来说，积分 $S$ 只能取极值（驻点）而不一定是最小值。当然，这对于推导运动方程没有影响，因为我们只需用到极值条件 $\delta S = 0$。 严格来说，最小作用量原理的表述并不是对系统的整个运动轨迹总成立，而是仅在足够小的区段上成立。对于整个轨迹来说，积分 $S$ 只能取极值（驻点）而不一定是最小值。当然，这对于推导运动方程没有影响，因为我们只需用到极值条件 $\delta S = 0$。 。下面我们来进行求解。

我们要寻找函数 $q(t)$，使得作用量 $S$ 取极值。根据变分原理，我们需要 $\delta S = 0$。

假设真实路径为 $q(t)$，我们给它施加一个微小的扰动 $\delta q(t)$。为了保证路径的起点和终点不变，我们要求在端点处的扰动为零：

$$\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$$

作用量的变分 $\delta S$ 可以写为拉格朗日量 $\mathcal{L}$ 的变分的时间积分：

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \delta \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \, dt$$

利用全微分展开（链式法则），我们将 $\delta \mathcal{L}$ 展开为：

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} \delta q + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt$$

关键步骤：处理第二项

我们需要将 $\delta \dot{q}$ 转化为与 $\delta q$ 相关的形式。这里利用了微分与变分的可交换性：

(注：为什么 $\delta \dot{q} = \frac{d}{dt}(\delta q)$？) 变分 $\delta$ 是对函数形式（路径形状）的微扰，而微分 $d/dt$ 是对时间的运算。由于路径的变化 $\delta q$ 和时间 $t$ 是相互独立的变量，因此运算顺序可以交换。数学上： $\delta \dot{q} = \delta \left(\frac{dq}{dt}\right) = \frac{d(q+\delta q)}{dt} - \frac{dq}{dt} = \frac{d(\delta q)}{dt}$

于是，积分变为：

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} \delta q + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \frac{d}{dt}(\delta q) \right) dt$$

对第二项进行分部积分 (Integration by Parts)： 令 $u = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}$，$dv = \frac{d}{dt}(\delta q)dt = d(\delta q)$，则：

$$\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \frac{d}{dt}(\delta q) \, dt = \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \delta q \right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \delta q \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) dt$$

由于端点固定条件 $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$，第一项（边界项）消失。将剩余部分代回原式：

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) \delta q \, dt = 0$$

变分法基本引理

根据变分法基本引理：如果对于任意满足边界条件的 $\delta q(t)$，上述积分恒为零，则被积函数必须恒为零。

因此，我们得到了力学的运动方程——欧拉-拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} = 0$$

物理直觉与规范变换

值得一提的是，上述推导完全是一个与物理无关的数学过程。真正往这个壳子里面赋予内容的是我们的物理直觉。

在这里我们先看看方程对拉格朗日量的“宽容程度”。注意到我们随意往 $\mathcal{L}$ 乘一个常数 $c$ 并不会导致运动方程的变化。不过出于可加性（对一个系统下两个不相干的部分 A，B，有 $\mathcal{L} = \mathcal{L}_A + \mathcal{L}_B$），我们必须得对每个部分乘相同的常数。这一定程度体现了对于单位选择的自由性。

如果你注意力集中，同样不难发现加一个函数 $f(q,t)$ 对时间 $t$ 的全导数也不会影响结果：

$$\mathcal{L}' = \mathcal{L} + \frac{d}{dt}f(q,t)$$

这将导出我们下面的伽利略变换不变性。

3. 伽利略相对性原理

经典视角下，参考系是我们研究物理的必要手段。然而众所周知，不同参考系下的运动规律总是不一样的，就好比牛顿定律放在非惯性系下就不成立。

• 有的系下空间是不均匀的；
• 有的系是各向异性的；
• 有的连不同时刻都不等价。

但是在这样的情况下，似乎总是存在一个空间均匀、各向同性、时间均匀的参考系，我们称之为惯性参考系。现在我们考虑导出自由粒子在惯性系下的拉格朗日量。

3.1 形式的确定

对位移矢量 $\mathbf{r}$ 施加一个偏移，可知物理规律不变（空间均匀性），所以 $\mathcal{L}$ 不应该依赖于 $\mathbf{r}$。时间同理（时间均匀性）。

那么速度的方向呢？由于空间各向同性，方向似乎也不重要。于是我们便大概得出了一个形式：拉格朗日量只能是速度大小平方的函数。

$$\mathcal{L} = \mathcal{L}(v^2)$$

写出它的拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{v}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{r}} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{v}} = 0$$

由此可得 $\partial \mathcal{L} / \partial\mathbf{v}=\text{const.}$

利用链式法则：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{v}} = \frac{d\mathcal{L}}{d(v^2)} \cdot \frac{\partial (v^2)}{\partial \mathbf{v}} = 2 \mathcal{L}'(v^2) \cdot \mathbf{v}$$

由于动量 $\partial \mathcal{L} / \partial\mathbf{v}$ 是常矢量，且上述映射是一个单射 * 这里隐含了一个数学条件：映射 $\mathbf{v} \to \mathbf{p}$ 必须是可逆的（单射）。在物理上，这意味着动量守恒等价于速度守恒。 这里隐含了一个数学条件：映射 $\mathbf{v} \to \mathbf{p}$ 必须是可逆的（单射）。在物理上，这意味着动量守恒等价于速度守恒。 ，故：

$$\mathbf{v} = \text{const.}$$

于是我们就得到了惯性系下的自由粒子速度不变（牛顿第一定律）。

3.2 导出 $L = \frac{1}{2}mv^2$

现在引入另一个惯性系 $K'$ 相对于另一个系 $K$ 以微小速度 $\epsilon$ 运动：$\mathbf{v}' = \mathbf{v} + \epsilon$。

由于惯性系的等价性，改变后的 $\mathcal{L}'$ 应该只改变了一个关于时间和坐标的全导数。代入展开后有：

$$\mathcal{L}(v'^2) = \mathcal{L}((\mathbf{v} +\epsilon)^2) \approx \mathcal{L}(v^2) + 2\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial(v^2)}(\mathbf{v}\cdot\epsilon)$$

第二项即为 $L' - L$。若想使得这一项成为关于坐标和时间的全导数 $\frac{df(r,t)}{dt}$，注意到 $\mathbf{v} = \frac{dr}{dt}$，则系数 $2\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial(v^2)}$ 必须与 $\mathbf{v}$ 无关（即为常数）。

由此可以导出 $\mathcal{L}(v^2)$ 必须与 $v^2$ 成正比：

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}mv^2$$

容易看出 $m$ 必须非负，否则作用量没有最小值。

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附：坐标系与度规几何

既然拉格朗日量 $L = \frac{1}{2}mv^2$，确定的 $L$ 的形式本质上就是确定速度平方 $v^2$ 在不同坐标系下的表达。

从几何角度看，速度是位置矢量 $\mathbf{r}$ 对时间的导数，而 $v^2$ 本质上是空间线元$dl$ 对时间的缩放：

$$v^2 = \left( \frac{dl}{dt} \right)^2 = \frac{dl^2}{dt^2}$$

这意味着，我们只需要知道当前坐标系下的弧长公式 $dl^2$，就能直接写出拉格朗日量。

1. 欧几里得空间的度规结构

我们讨论的背景是三维欧几里得空间（平坦空间）。这里的“平坦”意味着空间曲率为零，但并不意味着所有坐标系下的度规张量 $g_{ij}$ 都是单位矩阵 * 在广义相对论中，引力由时空弯曲引起，而在经典力学中，只要我们还在惯性系，空间本身就是平坦的 (Flat)。曲线坐标系引入的只是“虚假的”几何项（克里斯托费尔符号），而非真实的曲率。 在广义相对论中，引力由时空弯曲引起，而在经典力学中，只要我们还在惯性系，空间本身就是平坦的 (Flat)。曲线坐标系引入的只是“虚假的”几何项（克里斯托费尔符号），而非真实的曲率。 。

线元的一般形式由度规张量定义：

$$dl^2 = \sum_{i,j} g_{ij} dq_i dq_j$$

2. 常见坐标系下的 $L$

A. 笛卡尔坐标系

这是最简单的形式，度规为单位矩阵 $g_{ij} = \delta_{ij}$。

$$dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$ $$L = \frac{m}{2} (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2)$$

B. 柱坐标系

坐标变换为 $(r, \phi, z)$。注意这里 $r$ 是距离 $z$ 轴的距离。

$$dl^2 = dr^2 + r^2 d\phi^2 + dz^2$$

这里出现了一个非对角项系数 $r^2$，对应的拉格朗日量为：

$$L = \frac{m}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 + \dot{z}^2)$$

C. 球坐标系

坐标变换为 $(r, \theta, \phi)$。这是处理中心力场（如行星运动、氢原子）最常用的坐标系。

$$dl^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta \, d\phi^2$$

对应的拉格朗日量：

$$L = \frac{m}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2\theta \, \dot{\phi}^2)$$

思考： 观察上述公式，虽然 $L$ 的形式变复杂了，但物理本质（动能）没变。这些 $r^2$ 和 $\sin^2\theta$ 因子，正是雅可比矩阵在度规张量中的体现。 在后续章节推导 E-L 方程时，正是这些因子产生了离心力和科里奥利力等“惯性力”项。