分析力学 Note 2.2: 度规、与相对论时空 | Feixiang Tao
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MC03 2026-01-08 15 MIN READ

分析力学 Note 2.2: 度规、与相对论时空

#Physics #Differential Geometry #Metric Tensor #Relativity #Tensor Analysis

1. 流形上的度规

1.1 度规的定义

在微分几何中，流形 MM 上的一点 pp 处的切空间 TpMT_pM 是一个向量空间。度规张量 gg 本质上是定义在切空间上的一个双线性、对称、非退化的映射： g:TpM×TpM→Rg: T_pM \times T_pM \to \mathbb{R} 它接受两个切向量 u,vu, v，输出一个实数（内积）。

在局部坐标系 {xi}\{x^i\} 下，切空间的基底为 {∂i=∂∂xi}\{\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}\}。度规的分量定义为基底向量的内积： gij=g(∂i,∂j)=⟨∂i,∂j⟩g_{ij} = g(\partial_i, \partial_j) = \langle \partial_i, \partial_j \rangle

此时，线元可以写成矩阵二次型：

ds2=∑i,jgijdxidxj=(dx)TG(dx)ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij} dx^i dx^j = (d\mathbf{x})^T G (d\mathbf{x})

其中 GG 是度规矩阵，dxd\mathbf{x} 是坐标微分列向量。对于欧几里得空间，直角坐标系下 G=IG=I。

1.2 拉回度规的推导

当我们进行坐标变换，或者将流形嵌入到高维空间时，度规会随之改变。这在数学上称为拉回：通过映射将目标空间“拉回”到参数空间。

设原空间坐标为 x∈Rn\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n（度规为 GG），新参数空间坐标为 u∈Rk\mathbf{u} \in \mathbb{R}^k。 映射关系为 x=Φ(u)\mathbf{x} = \Phi(\mathbf{u})。

推导过程：

  1. 微分变换：根据两套坐标的微元通过雅可比矩阵 JJ 联系： dx=Jdu,其中 Jij=∂xi∂ujd\mathbf{x} = J d\mathbf{u}, \quad \text{其中 } J_{ij} = \frac{\partial x^i}{\partial u^j}
  2. 代入线元定义： ds2=(dx)TG(dx)ds^2 = (d\mathbf{x})^T G (d\mathbf{x})
  3. 展开： ds2=(Jdu)TG(Jdu)=duT(JTGJ)duds^2 = (J d\mathbf{u})^T G (J d\mathbf{u}) = d\mathbf{u}^T (J^T G J) d\mathbf{u}
  4. 结论： 对比新坐标下的线元定义 ds2=duTG′duds^2 = d\mathbf{u}^T G' d\mathbf{u}，我们得到新度规 G′G' 的变换公式： G′=JTGJG' = J^T G J 这正是线性代数中二次型的合同变换。

1.3 实例计算

案例 A：极坐标

从直角坐标 x=(x,y)\mathbf{x}=(x,y) 变换到极坐标 u=(r,θ)\mathbf{u}=(r,\theta)。 映射：x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta。 原度规 G=I2G = I_2。

  1. 计算雅可比矩阵 JJ： J=(∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ)=(cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ)J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}
  2. 计算拉回度规 G′=JTIJ=JTJG' = J^T I J = J^T J： G′=(cos⁡θsin⁡θ−rsin⁡θrcos⁡θ)(cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ)=(cos⁡2θ+sin⁡2θ−rsin⁡θcos⁡θ+rcos⁡θsin⁡θ−rsin⁡θcos⁡θ+rcos⁡θsin⁡θr2sin⁡2θ+r2cos⁡2θ)=(100r2)\begin{aligned} G' &= \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -r\sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta\cos\theta+r\cos\theta\sin\theta \\ -r\sin\theta\cos\theta+r\cos\theta\sin\theta & r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{pmatrix} \end{aligned}
  3. 结果：ds2=dr2+r2dθ2ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2。

案例 B：旋转抛物面

考虑嵌入在 R3\mathbb{R}^3 中的曲面 z=x2+y2z = x^2 + y^2。我们将 (x,y)(x,y) 作为流形的内禀坐标 (u,v)(u,v)。 原空间 R3\mathbb{R}^3 度规为 I3I_3。映射为 r=(x,y,x2+y2)\mathbf{r} = (x, y, x^2+y^2)。

  1. 计算雅可比矩阵 JJ (3x2 矩阵)： J=(10012x2y)J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2x & 2y \end{pmatrix}
  2. 计算诱导度规 G′=JTJG' = J^T J： G′=(102x012y)(10012x2y)=(1+4x24xy4xy1+4y2)\begin{aligned} G' &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2x \\ 0 & 1 & 2y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2x & 2y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 + 4x^2 & 4xy \\ 4xy & 1 + 4y^2 \end{pmatrix} \end{aligned}
  3. 结果：线元为 ds2=(1+4x2)dx2+(1+4y2)dy2+8xydxdyds^2 = (1+4x^2)dx^2 + (1+4y^2)dy^2 + 8xy dx dy。这是一个非对角度规，说明坐标轴在局部不是正交的。

2.协变与逆变

在流形上，对象分为两类：住在切空间 TpMT_pM 的（如速度）和住在对偶空间 Tp∗MT^*_pM 的（如梯度）。它们的变换规律截然相反。

2.1 基底变换与分量变换

设旧坐标 xx，新坐标 xˉ\bar{x}。雅可比矩阵 J=∂x∂xˉJ = \frac{\partial x}{\partial \bar{x}}（注意这里定义为从新到旧的导数，即基底变换矩阵）。

  • 切向量基底 (Basis)：ei=∂∂xi\mathbf{e}_i = \frac{\partial}{\partial x^i}。有eˉj=∂xi∂xˉjei\bar{\mathbf{e}}_j = \frac{\partial x^i}{\partial \bar{x}^j} \mathbf{e}_i。基底变换矩阵是 JJ。

  • 向量分量 (Vector Components, viv^i)： 为了保证向量 v=viei\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_i 是客观不变的实体，分量必须向相反方向变换（抵消基底的变化）： vˉ=J−1v\bar{v} = J^{-1} v 这种随基底逆向变换的性质称为逆变。

  • 对偶基底 (Dual Basis)：dxidx^i。变换规律为 dxˉi=∂xˉi∂xjdxjd\bar{x}^i = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j} dx^j。变换矩阵是 J−1J^{-1}。

  • 余向量分量 (Covector Components, ωi\omega_i)： 为了保证 1-form ω=ωidxi\boldsymbol{\omega} = \omega_i dx^i 不变，分量必须随基底同向变换： ωˉ=JTω\bar{\omega} = J^T \omega 这种随基底同向变换的性质称为协变。

2.2 升降指标

度规 GG 提供了一个从 TpMT_pM 到 Tp∗MT^*_pM 的自然同构。 定义映射：将向量 v\mathbf{v} 映射为余向量 v♭\mathbf{v}^\flat，其分量为： vi=∑jgijvj(矩阵形式: vdown=Gvup)v_i = \sum_j g_{ij} v^j \quad (\text{矩阵形式: } v_{\text{down}} = G v_{\text{up}})

证明：变换后的 viv_i 确实是一个协变分量 在坐标变换 x→xˉx \to \bar{x} 下（变换矩阵 JJ）：

  1. 逆变分量变换：vˉup=J−1vup\bar{v}_{\text{up}} = J^{-1} v_{\text{up}}。
  2. 度规变换：Gˉ=JTGJ\bar{G} = J^T G J (注意这里的 JJ 是从新到旧，所以拉回方向相反，实际上对于分量矩阵关系为 Gˉ=(J−1)TGJ−1\bar{G} = (J^{-1})^T G J^{-1}，或者我们直接用张量变换律)。 更严格的推导： vˉi=∑kgˉikvˉk\bar{v}_i = \sum_k \bar{g}_{ik} \bar{v}^k 写成矩阵： vˉdown=Gˉvˉup=(JTGJ)cov⋅(J−1vup)\bar{v}_{\text{down}} = \bar{G} \bar{v}_{\text{up}} = (J^T G J)_{\text{cov}} \cdot (J^{-1} v_{\text{up}}) (注：若 J=∂x/∂xˉJ = \partial x / \partial \bar{x}，则协变分量变换为 JTJ^T。此处需注意矩阵定义的逆转关系。核心在于：) vˉdown=JT(Gvup)=JTvdown\bar{v}_{\text{down}} = J^T (G v_{\text{up}}) = J^T v_{\text{down}} 这正是协变向量的变换法则！证毕。

3. 爱因斯坦求和约定

为了避免写满篇的 ∑\sum 和矩阵符号，我们引入以下严格规则：

  1. 求和规则：在一个单项中，如果一个指标字母出现两次，且一次在上、一次在下，则默认对该指标遍历求和。 AiBi≡∑i=1nAiBiA^i B_i \equiv \sum_{i=1}^n A^i B_i
  2. 自由指标规则：在一个公式中，只出现一次的指标是自由指标。等号两边的自由指标必须在位置（上下）和字母上完全一致。 vk=Ajkuj(左边上 k，右边自由的上 k，匹配)v^k = A^k_j u^j \quad (\text{左边上 k，右边自由的上 k，匹配})
  3. 禁止规则：一个指标在一个单项中不能出现超过两次。
  4. 升降规则：
    • gijvj=vig_{ij} v^j = v_i (指标下降)
    • gijvj=vig^{ij} v_j = v^i (指标上升，其中 gijg^{ij} 是 G−1G^{-1} 的元素)

4. 闵可夫斯基时空

4.1 光速不变假设

设两个惯性系 SS 和 S′S'，原点重合时发出球形光。

  • SS 系中光波前方程：x2+y2+z2−c2t2=0x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = 0
  • S′S' 系中光波前方程：x′2+y′2+z′2−c2t′2=0x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2t'^2 = 0

由于两者描述同一物理事件，且空间各向同性，二者必须成比例。根据相对性原理，比例系数为 1。 因此，存在一个时空不变量： ds2=−c2t2+x2+y2+z2ds^2 = -c^2t^2 + x^2 + y^2 + z^2 这就是闵可夫斯基度规 η\eta 的来源： η=diag(−1,1,1,1)\eta = \text{diag}(-1, 1, 1, 1)

4.2 洛伦兹变换

我们寻找一个线性变换 x′=Ax+Bt,t′=Cx+Dtx' = Ax + Bt, t' = Cx + Dt，保持 ds2ds^2 不变。 考虑仅 x,tx, t 方向：−c2t2+x2=−c2t′2+x′2-c^2t^2 + x^2 = -c^2t'^2 + x'^2。

  1. 线性：设 x′=γ(x−vt)x' = \gamma(x - vt)。这是为了保证 S′S' 原点在 SS 中速度为 vv。
  2. 相对性：x=γ(x′+vt′)x = \gamma(x' + vt')。
  3. 光速条件：代入 x=ct,x′=ct′x=ct, x'=ct'。 ct′=γ(ct−vt)=γt(c−v)ct' = \gamma(ct - vt) = \gamma t(c-v) ct=γ(ct′+vt′)=γt′(c+v)ct = \gamma(ct' + vt') = \gamma t'(c+v) 两式相乘：c2=γ2(c2−v2)  ⟹  γ=11−v2/c2c^2 = \gamma^2(c^2 - v^2) \implies \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}。
  4. 解出 t′t'：将 x′x' 代入逆变换公式，消去 xx 可得： t′=γ(t−vc2x)t' = \gamma(t - \frac{v}{c^2}x)

双曲旋转 引入 β=v/c\beta = v/c，上述变换写为： (ct′x′)=(γ−βγ−βγγ)(ctx)\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma \\ -\beta\gamma & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix} 利用恒等式 γ2−(βγ)2=1\gamma^2 - (\beta\gamma)^2 = 1，令 γ=cosh⁡ξ,βγ=sinh⁡ξ\gamma = \cosh\xi, \beta\gamma = \sinh\xi。 Λ=(cosh⁡ξ−sinh⁡ξ−sinh⁡ξcosh⁡ξ)\Lambda = \begin{pmatrix} \cosh\xi & -\sinh\xi \\ -\sinh\xi & \cosh\xi \end{pmatrix} 这表明洛伦兹变换本质上是闵可夫斯基时空中的双曲旋转。

4.3 四维速度与模长守恒

  • 固有时 (τ\tau)：定义为物体静止系的时间，dτ2=−ds2/c2=dt2−dx2/c2d\tau^2 = -ds^2/c^2 = dt^2 - dx^2/c^2。
  • 四维速度 (UU)：定义为 U=dXdτ=(cdtdτ,dxdτ,… )TU = \frac{dX}{d\tau} = (\frac{cdt}{d\tau}, \frac{dx}{d\tau}, \dots)^T。

推导模长：

UTηU=dXTdτηdXdτ=1dτ2(dXTηdX)U^T \eta U = \frac{dX^T}{d\tau} \eta \frac{dX}{d\tau} = \frac{1}{d\tau^2} (dX^T \eta dX)

由于 dXTηdXdX^T \eta dX 正是 ds2ds^2，且定义 ds2=−c2dτ2ds^2 = -c^2 d\tau^2：

UTηU=−c2dτ2dτ2=−c2U^T \eta U = \frac{-c^2 d\tau^2}{d\tau^2} = -c^2

物理意义：任何物体在四维时空中的“速度”模长是恒定的。这意味我们在时空中总是以光速运动，只是在时间轴和空间轴之间分配分量。

4.4 光锥结构

光锥方程 ds2=−c2t2+∣x∣2=0ds^2 = -c^2t^2 + |\mathbf{x}|^2 = 0 定义了时空的边界。根据间隔 ds2ds^2 的符号，时空被严格划分为三类区域：

  1. 光锥表面：类光 ds2=0ds^2 = 0

    • 这是光子的世界线。
    • 它构成了关联的边界。

  2. 光锥内部：类时 ds2<0ds^2 < 0 这是有质量粒子能够存在的区域。由于 −c2t2-c^2t^2 占主导，时间顺序是绝对的。

    • 未来光锥内部 (t>0,ds2<0t > 0, ds^2 < 0)：绝对未来。原点处的事件可以影响这里的事件。
    • 过去光锥内部 (t<0,ds2<0t < 0, ds^2 < 0)：绝对过去。这里的事件可以影响原点处的事件。

  3. 光锥外部：类空 ds2>0ds^2 > 0

    • 这是绝对不可达区域。
    • 空间距离占主导 (∣x∣>c∣t∣|\mathbf{x}| > c|t|)，连接原点与该区域需要超光速。
    • 无因果性：该区域内的事件与原点没有任何因果联系，其时间先后顺序随参考系不同而改变（同时性的相对性）。
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