分析力学 Note 2.3: 为什么切向量是偏导算子？

1. 直觉的危机：向量去哪了？

在学习分析力学的时候，我们不免会接触到一些微分几何的内容，很多初学者(比如我)都是第一次接触流形，切空间，余切向量，纤维丛等概念） 而他们往往会在切空间的定义处遭遇当头一棒。书上赫然写着：

定义：流形 $M$ 在点 $p$ 处的切空间基底是坐标偏导算子 $\left\{ \frac{\partial}{\partial x^i} \right\}$。即：$\mathbf{e}_i \equiv \frac{\partial}{\partial x^i}$。

这非常反直觉。

• 直觉告诉我们：向量（广义速度）是一个几何实体，是空间中的一根箭头，有大小有方向。
• 定义告诉我们：向量是一个算子，是一个“操作”。

疑问：把“实体”定义为“动作”，这难道不是一种type error吗？偏导算子只有作用在函数上才有意义，它怎么能是向量本身呢？

本篇笔记试图通过一定的数学推导和物理直觉，化解这个困惑。

2. 内蕴视角：

首先，我们需要接受一个前提：流形是内蕴的。 这意味着我们是一只生活在球面上的蚂蚁，我们看不见球体外部的三维空间，也无法画出那个切平面。

在这种限制下，我们如何定义“我在运动”？

2.1 运动即变化

我们能感知的只有流形上的标量场（如温度、电势）$f: M \to \mathbb{R}$。 当我们沿着某条曲线 $\gamma(t)$ 运动时，我们发现周围的温度 $f$ 在变化。 直觉告诉我们，切向量 $\mathbf{v}$ 本质上描述了这种变化的趋势。

定义方向导数算子：

$$\mathbf{v}(f) \equiv \frac{d}{dt} f(\gamma(t)) \bigg|_{t=0}$$

2.2 数学定义：求导算子

我们敏锐地发现，这种方向导数具有两个核心代数性质。 设 $C^\infty(p)$ 是点 $p$ 附近光滑函数的集合。定义映射 $X: C^\infty(p) \to \mathbb{R}$，如果它满足：

1. 线性性：$X(af + bg) = a X(f) + b X(g)$
2. 莱布尼茨律：$X(fg) = f(p)X(g) + g(p)X(f)$

那么我们称 $X$ 为一个求导算子。

定理：点 $p$ 处所有求导算子构成的集合，形成一个 $n$ 维线性空间。这个空间同构于我们直觉中的切空间。

? // ANNOTATION

为什么必须是偏导数？

任取一个满足上述定义的算子 $X$。对于任意函数 $f$，我们在局部坐标系下对其进行泰勒展开： $f(x) = f(p) + \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}\bigg|_p (x^i - p^i) + \dots$

将算子 $X$ 作用于两边：

1. $X(\text{常数}) = 0$（由莱布尼茨律易证）。
2. 利用线性性和莱布尼茨律，忽略高阶无穷小项，最终得到： $X(f) = \sum_i (X(x^i)) \frac{\partial f}{\partial x^i}\bigg|_p$

令 $v^i = X(x^i)$，这是一个实数。于是我们发现，任何抽象的求导算子 $X$ 都可以写成： $X = \sum_i v^i \left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right)_p$

这证明了 $\left\{ \frac{\partial}{\partial x^i} \right\}$ 确实构成了这个线性空间的基底。

// Note:

为什么必须是偏导数？

任取一个满足上述定义的算子 $X$。对于任意函数 $f$，我们在局部坐标系下对其进行泰勒展开： $f(x) = f(p) + \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}\bigg|_p (x^i - p^i) + \dots$

将算子 $X$ 作用于两边：

1. $X(\text{常数}) = 0$（由莱布尼茨律易证）。
2. 利用线性性和莱布尼茨律，忽略高阶无穷小项，最终得到： $X(f) = \sum_i (X(x^i)) \frac{\partial f}{\partial x^i}\bigg|_p$

令 $v^i = X(x^i)$，这是一个实数。于是我们发现，任何抽象的求导算子 $X$ 都可以写成： $X = \sum_i v^i \left( \frac{\partial}{\partial x^i} \right)_p$

这证明了 $\left\{ \frac{\partial}{\partial x^i} \right\}$ 确实构成了这个线性空间的基底。

2.3 物理图景：算子与被作用对象

现在我们接受了 $\mathbf{v} = v^i \frac{\partial}{\partial x^i}$。

• $\mathbf{v}$ (切向量)：是一个“未执行的求导算子”。
• $f$ (标量场)：是“受体”。
• $\mathbf{v}(f)$ (作用结果)：是一个标量，代表 $f$ 沿着 $\mathbf{v}$ 方向的变化率。

如何找回坐标分量？ 如果我们想知道向量的分量 $v^k$，我们只需要把算子作用在坐标函数 $x^k$ 上： $\mathbf{v}(x^k) = \left( \sum_i v^i \frac{\partial}{\partial x^i} \right) (x^k) = \sum_i v^i \delta^k_i = v^k$ 这完美地自洽了：向量作用于坐标，吐出分量。

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3. 外底视角：嵌入与推前

虽然内蕴定义逻辑闭环，但不够直观。为什么算子会等同于几何上的一个箭头？ 通过嵌入，我们可以把这个抽象概念“落地”。

假设我们将 $n$ 维流形 $M$ 嵌入到更高维的欧几里得空间 $\mathbb{R}^N$ 中。 映射为 $\mathbf{x} = \Phi(u^1, \dots, u^n)$，其中 $u$ 是流形坐标，$\mathbf{x}$ 是欧氏坐标。

3.1 推前

流形上的切向量 $\mathbf{v}$ 可以通过映射 $\Phi$ 被推到大的环境空间里，变成一个真实的几何向量 $\mathbf{V}$。 这一过程称为 Pushforward ($\Phi_*$)。

对于基底算子 $\mathbf{e}_i = \frac{\partial}{\partial u^i}$，其在大空间中的像是：

$$\mathbf{V}_i = \Phi_* \left( \frac{\partial}{\partial u^i} \right)$$

3.2 链式法则

根据链式法则， $\frac{\partial}{\partial u^i}$ 作用在大空间坐标 $\mathbf{x}$ 上：

$$\mathbf{V}_i = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^i} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x^1}{\partial u^i} \\ \vdots \\ \frac{\partial x^N}{\partial u^i} \end{pmatrix}$$

明悟：

• 在流形上看：它是抽象的偏导算子 $\frac{\partial}{\partial u^i}$。
• 在大空间看：它是雅可比矩阵的第 $i$ 列向量。这是一个实实在在的、有长度有方向的向量！

所谓“切向量是算子”，只是因为我们在流形内部看不到这个列向量，只能看到它对函数产生的变化率效果。而这两者在数学上是同构的。

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4. 实例演算

例子 A：极坐标下的基底

在 $\mathbb{R}^2$ 中使用极坐标 $(r, \theta)$。 映射 $\Phi$: $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$。

问题：切基底 $\mathbf{e}_\theta = \frac{\partial}{\partial \theta}$ 到底是什么向量？

计算： 将 $\frac{\partial}{\partial \theta}$ 作用于欧氏坐标 $(x, y)$：

$$\mathbf{e}_\theta \to \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -r\sin\theta \\ r\cos\theta \end{pmatrix}$$

物理验证：

1. 方向：向量 $(-y, x)$ 确实垂直于径向向量 $(x, y)$，即切向方向。
2. 长度：$|\mathbf{e}_\theta|^2 = r^2\sin^2\theta + r^2\cos^2\theta = r^2$。 这解释了为什么度规分量 $g_{\theta\theta} = r^2$。 偏导算子 $\frac{\partial}{\partial \theta}$ 并不是单位向量，它的长度随半径 $r$ 变大而变长。

例子 B：单位球面 $S^2$

考虑球坐标 $(\theta, \phi)$。流形嵌入在 $\mathbb{R}^3$ 中。 $\mathbf{x} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$

计算 $\mathbf{e}_\phi = \frac{\partial}{\partial \phi}$（经度方向）：

$$\mathbf{e}_\phi \to \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \phi} = \begin{pmatrix} -\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\cos\phi \\ 0 \end{pmatrix}$$

这是一个位于 $xy$ 平面内，与经线相切的向量。 其长度为 $|\mathbf{e}_\phi| = \sin\theta$。这正是球面度规 $ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2$ 中系数的来源。

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5. 总结

为什么我们感觉“不合理”？ 因为我们习惯了 Implementation，而数学家给我们的定义是 Interface。

1. 算子定义 ($\frac{\partial}{\partial x}$) 是接口：它定义了向量的功能，不依赖于外部空间。这是广义相对论的语言。
2. 雅可比列向量 ($\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}$) 是实现：当我们把流形放入大空间时，算子显形为具体的几何向量。

两者在数学上是严格等价的。理解了这一点，就可以在“抽象”和“直觉”之间自由切换了。